سلام.

هم غلط املایی دارید هم در قسمت appendTo تگ li رو نذاشتید ابتدا و انتهای تگ a.

is_numeric جزو توابع PHP هست.

newFolderId یک متغیر هست و val() گرفتن ازش اشتباهه.

#folders-list رو بصورت آیدی نامگذاری کردید ولی در appendTo بعنوان کلاس استفاده کردید.

در قسمت addTaskInput تیکه کد PHP رو به این صورت بنویسید:

folderId: <?php echo $_GET['folder_id'] ?? 0 ?>,

تا اگر $_GET تعریف نشده بود، خطایی رخ نده و مقدار صفر جایگزین شده باشه.

ضمن اینکه این قسمت غلط املایی داشتید در تعریف متغیرها سمت ajaxHandler.

وقتی کد ajax مینویسید در قسمت PHP باید خروجی مناسب ارسال کنید تا با کدهای جاوااسکریپت بتونید تجزیه و تحلیلش کنید و نتیجه ی مناسب رو قرار بدید. با توجه به کدهای ajaxHandler.php خروجی‌های اضافه رو باید کامنت کنید:

//var_dump($_POST['folderName']);
//echo "I Get Ajax Request :))";

نباید چنتا خروجی بفرستید.

در قسمت case : addTask هم همینطور:

//echo "I Get Ajax Request :))";

در کد init.php ادرس دهی constants.php اشتباهه. چون خودش داخل فولدر bootstrap هست و شما دارید دوباره از همونجا آدرس میدید. بنابراین یا bootstrap رو حذف کنید یا BASE_PATH رو به ابتداش اضافه کنید:

include "constants.php";

نتیجه ی نهایی کد:

<script>
    $(document).ready(function() {
      $('#addFolderBtn').click(function(e) {
        var input = $('input#addFolderInput');
        $.ajax({
          url: "process/ajaxHandler.php",
          method: "POST",
          data: {
            action: "addFolder",
            folderName: input.val()
          },
          success: function(response) {
            if (response >= 1) {
              var newFolderId = response;
              $('<li><a href="?folder_id ="' + newFolderId + '"><i class="fa fa-folder"></i>' + input.val() + '</a></li>').appendTo('#folders-list');
            } else {
              alert(response);
            }
          }
        });
      });
      $('#addTaskInput').on('keypress', function(e) {
        if (e.which == 13) {
          $.ajax({
            url: "process/ajaxHandler.php",
            method: "POST",
            data: {
              action: "addTask",
              folderId: <?php echo $_GET['folder_id'] ?? 0 ?>,
              taskTitle: $('#addTaskInput').val()
            },
            success: function(response) {
              if (response == 1) {
                location.reload();
              } else {
                alert(response);
              }
            }
          });
        }
      });
      $('#addTaskInput').focus();
    });
  </script>

کد PHP:

<?php
include "../bootstrap/init.php";
if (!isAjaxRequest()) {
    diePage("Invalid Request!");
}
if (!isset($_POST['action']) || empty($_POST['action'])) {
    diePage("Invalid Action!");
}
//var_dump($_POST['folderName']);
//echo "I Get Ajax Request :))";
switch ($_POST['action']) {
    case "addFolder":
        if (!isset($_POST['folderName']) || strlen($_POST['folderName']) < 3) {
            echo "Folder name must be at least 3 characters";
            die();
        }
        echo addFolder($_POST['folderName']);
        break;
    case "addTask":
        $folderId = $_POST['folderId'];
        $taskTitle = $_POST['taskTitle'];
        //echo "I Get Ajax Request :))";
        if (!isset($folderId) || empty($folderId)) {
            echo "please choose your folder to add Task into it!";
            die();
        }
        if (!isset($taskTitle) || strlen($taskTitle) > 3) {
            echo "Task title must be at least 3 characters!";
            die();
        }
        echo addTask($taskTitle, $folderId);
        break;
    default:
        diePage("Invalid Request!");
}